Undersøgelse af en dynamisk model for sepsis

Abstract

Denne rapport undersøger en matematisk model for blodforgiftningen sepsis. Modellen er udarbejdet af Zuev et al. (2006), som en patientspecifik model, med én patientspecifik, dimensionsløs paramter H, der afhænger af patientens BMI. Det er ikke hos Zuev et al. (2006) vist, hvordan modellen gøres patientspecifik ift. kun denne parameter, hvorfor vi udfører argumentationen i denne rapport. Vi foretager en matematisk undersøgelse bestående af stabilitetsanalyse og sensitivitetsanalyse. Stabilitetsanalysen deles over en primært algebraisk analyse, hvor vi undersøger ligevægtspunkter og egenværdier for Jacobimatricen, og en numerisk analyse hvor den generelle dynamik er i fokus. Vi finder 3 forskellige dynamikker for modellen, hvor patienten vil blive rask hvis H > 0.86, mens patienten ved H 2 [0.52, 0.86] vil opleve et periodisk sygdomsforløb uden hverken helbredelse eller død som udgang, og ved H < 0.52 vil patienten dø, hvis ikke man indleder behandling. Ved at inddrage sensitivitetsanalysen finder vi endvidere, at modellen er forholdsvis præcis for H < 1, mens at ved større værdier af H, bliver modellens resultater meget usikre. Samlet kommer vi frem til, at modellen af Zuev et al. (2006) er en dækkende model til beskrivelse af sepsis, der dog kræver noget videre arbejde, før den kan implementeres. Vi anbefaler således, at den dels sættes op imod væsentlig mere data, og at den dels bliver underlagt en mere biologisk undersøgelse. Vores analyser giver endvidere anledning til en diskussion om, hvorvidt det er hensigtsmæssigt at lave en model, hvor man har én parameter, der er patientspecifik. Denne diskussion bliver yderligere relevant, da denne paremeter også er en bifurkationsparameter, og er den parameter, de variable har størst sensitivitet over for. I artiklen af Zuev et al. (2006) bliver H koblet med patientens alder, lungekapacitet mv., hvilket vi finder noget kritisabelt. Vi foreslår også en udvidelse af modellen, så den omfatter behandling med antibiotika. Afslutningsvis fremkommer vi med forslag til implementering, der dog må vente til efter modellen er bedre valideret.

This report investigates a matemathical model for the severe blood poisoning sepsis. The model is developed by Zuev et al. (2006) as a patient specific model with one patient specific, dimensionless parameter, H, which is dependent of the patients BMI. In the paper by Zuev et al. (2006) it is not shown how the model is actually made patient specific by means of only one paramenter, which is why the argument is made in the report. We perform an investigation consisting of stability analysis and sensitivity analysis. The stability analysis consists of a primarily algebraic analysis, where steady states and eigenvalues of the Jacobian matrix are investigated, and a numerical analysis where we focus on the general dynamics of the model. We find 3 different dynamics for the model, where the patient recovers if H > 0.86, while the patients at H 2 [0.52, 0.86] will experience a periodic course of disease without either recovery nor death as an outcome. Finally patients with H < 0.52 will certainly die if treatment is not initiated. By including the sensitivity analysis, we furthermore find, that the model is somewhat accurate for H < 1, but at larger values of H, the output of the model are related with great incertainty. In total we conclude that the model by Zuev et al. (2006) is sufficient to describe sepsis. It will, however, demand further work before it can be implemented. We recommend significantly more empiric evidence and a more biological investigation. Our analysis recommend a discussion about whether it is suitable to make a model with only one patient specific parameter. This discussion gain further relevance since this parameter is also a bifurcation parameter, and the parameter which the variables has the highest sensistivity to. In the paper by Zuev et al. (2006), H is proposed to be dependent of variuos things; age, lung capacity etc. by means we find criticizable. We also suggest an expansion of the model, to incorporate antibiotic treatments. Finally we give a suggestion to implementation - which will need to wait for further validation of the model to take place.